遊びの数論63　

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61 | 62 | 63

『遊びの数論62』の続き。誤字脱字・間違いがあるかも。

目次。約6の項目があります。2026などの数字は、メモの日付です。
2026-07-08　博士の愛した公式（その3）　3⋅4⋅5⁶⋅7
2026-07-11　博士の愛した公式（その4）　田舎の村よ［1764 = 42²］
2026-07-14　博士の愛した公式（その5）　mod p⁵
2026-07-20　法 p で見たスターリング数
2026-07-22　法 p で見たスターリング数（続き）
2026-07-24　スターリング数を二項係数で表すこと
目次の終わり。このページの最初の項目が続きます。

2026-07-08　博士の愛した公式（その3）　3⋅4⋅5⁶⋅7

[10 S 5] ≡ 5² [10 S 6] (mod 5⁶)

[14 S 7] ≡ 7² [14 S 8] (mod 7⁵)

[22 S 11] ≡ 11² [22 S 12] (mod 11⁵)

これらは Glaisher の合同式の一種。 mod p⁵ は一定パターンで規則的に生じるが、 mod p⁶ は珍しい。

意味？

[10 S 6] = 63273 を 5² 倍した 1581825 と、 [10 S 5] = 269325 は、どっちの数も 5⁶ = 15625 で割ったときの余りが同じ！ってこと（具体的には 3700 余る）。

言い換えると、両者の差
　　1581825 − 269325 = 1312500 = 15625 × 84 = 5⁶ × 84
は 5⁶ の倍数。 84 = 12 × 7 = 3 × 4 × 7 なので、おしゃれに（？）書けば:
　　5²⋅[10 S 6] − [10 S 5] = 3⋅4⋅5⁶⋅7

§17　次の合同式は、 Glaisher [7] の最後の節 §59 にリストアップされた10種の公式のうち最後のもの。
　　[n S k] ≡ (nk/2)⋅[n S k + 1]
参照の便宜上、これを第10公式と呼ぶことにする。

「第10公式」では、 n が奇数なら k を偶数とし、一般には n³ が法となる。ただし n = p が素数なら、 k = p − 3 の場合を除いて p⁴ を法とすることができる（k = p − 3 の場合には、一般の場合と同じく p³ が法）。その証明は、比較的易しい。

一方 n = 2h が偶数の場合、 k を奇数とし、やはり一般には p³ が法となる。この場合も n/2 = h = p が素数なら、 k = 2p − 3 の場合を除いて p⁴ を法とすることができるのだが、その証明はややトリッキー。 Glaisher 自身、すぐには状況を見通せず、 k ≥ p の場合に限った証明を書き上げ、既に活字も組み上がった段階になって「k は p より小さい奇数でも構わないぞ！」というひらめきを得て、論文の末尾に追記し、本文のあちこちに脚注を追加している。

Glaisher 博士は当時 Quarterly Journal 誌の唯一の編集者だったらしく、ギリギリになって脚注追加、といった融通が利いたようだ。数表を作るようなことが大好きだったらしく、かなり楽しそう。

Glaisher は上側インデックスが 23 までの第一種スターリング数の表を自作していたので、 p = 5, 7, 11 の三つのケースについて n = 2p 場合の具体的数値を観察することができ、従って、上記の結論を初めから予想できていた可能性がある。ただ、すぐには証明を思い付かず、具体例が三つだけでは、一般的に成り立つのか、たまたま最初の三つではそうなるだけなのか断定もできないので、もやもやしていたのではないか。

任意の奇素数 p について、 W_p(2p) = [2p S p] は p の倍数――という観察を糸口にして、 Glaisher は中途半端だった証明を自然に拡張した。事実としては平明だがその論法は繊細で、 p² で割り切れない三つの項を組み合わせると、それらの和が p² で割り切れる、ということに基づく（§14）。そして、それを土台に W_p+1, W_p+2, ···, W_2p−3 が p の倍数であることが帰納的に示される。 p の倍数だと保証された W の範囲が広がったことで、 p の倍数だと保証された σ_j(p − 1; 2p) の範囲も広がる（§16）。「第10公式」では、内部的に σ_j が因子となっているため、それが素因子 p を持つなら、法 p^ν の指数 ν が増える。

証明の細い道がつながったときは（エレガントかはともかく、論理的には明快）、さぞや胸のすくような思いだっただろう。

表記法（記号・文字）について。 A₁, A₂, ···, A_n−1 で (x + 1)(x + 2)···(x + n) の係数（最高次の係数 1 を A₀ とする）を表すのは、 Lagrange が Wilson の定理を証明したときからの由緒ある表記法であり、 Glaisher もこの表記法を使う。われわれも同様の表記法を併用するけれど、文字 A の代わりに W を使って W₁, W₂ 等々と記す。 W_r とは n 次式 x(x + 1)(x + 2)···(x + n) の n − r 次の係数であり、定数項は 0 なので W_n = 0。基準となる多項式の次数 n はしばしば暗黙だが、明示したい場合には W_r(n) と表記する。

W_r は「0 から n − 1 までの n 個の整数」の「r 個ずつの積」の総和に等しい。因子 0 を含む項は和に寄与しないので「1 から n − 1 までの n − 1 個の数」の「r 個ずつの積」と言ってもいい。これを Glaisher は
　　W_r = S_r(1, 2, ···, n − 1)
のように記した。ここでも、時々同様の表記法を使う。ただし、同じことを簡略に
　　W_r = S_r(n − 1)
と書く。スターリング数の（Knuth による）記号では、
　　W_r(n) = S_r(n − 1) = [n S n − r]
に当たる。

W と S は、引数の仕様が 1 違うだけで、実質同じ関数。 W_r(6) = S_r(5), W_r(7) = S_r(6) 等々。同じ内容について二つの表記法があるのは冗長で、場合によっては紛らわしい。しかし少なくとも Glaisher の原論文の用法においては、表記の簡潔化や、ある種の一般化に役立っている面もある。もとをただせばスターリング数に（まだ）統一された表記法がないことが、このような「表記の揺れ」の一つの背景といえるだろう。

Glaisher の σ 記号の概要は次の通り（詳細）。
　　σ₁(1, 2, ··· , m; L) = 1⋅(L − 1) + 2⋅(L − 2) + ··· + m⋅(L − m)
　　σ₂(1, 2, ··· , m; L) = 1⋅2⋅(L − 1)⋅(L − 2) + 1⋅3⋅(L − 1)⋅(L − 3) + ··· + (m − 1)⋅m⋅(L − (m − 1))⋅(L − m)
つまり σ_j は各項が 2j 個の数の積から成る総和であり、例えば σ₃(1, 2, ···, m; L) なら「1 から m までの数の三つずつの積」（それを一般的に αβγ としよう）に、 α, β, γ のそれぞれを L から引いたものを因子として追加した六つの数の積 αβγ(L − α)(L − β)(L − γ) の和。引数と無関係に σ₀ = 1 と約束する。われわれは
　　σ_j(1, 2, ··· , m; L)
を σ_j(m; L) と略す。実際には、
　　σ_j(1, 2, ···, h; 2h + 1)　と　σ_j(1, 2, ···, h − 1; 2h)
の二つが（以下では後者が）常用される。省略記法ではそれぞれ σ_j(h; 2h + 1) と σ_j(h − 1; 2h) に当たる。

個々の σ 記号の具体的な和（数値）は、実際上あまり重要ではない。ある種の式の操作の結果として「σ が特定の数の倍数になることが保証される」ようなケースが、重要な鍵となり得る。

§18　n = 2h を任意の正の偶数、 2t を 0 以上 n − 2 以下の偶数とする。 μ = h − t と置き、 σ_j(h − 1; n) を σ_j と略すと、
　　(μ − 1/2)⋅n⋅S_2t(2h − 1) − S_2t+1(2h − 1)
　　 = 1/2(4μ² − 1){[μ⋅1/3!]⋅n³⋅σ_t−1 + [(μ + 1)μ(μ − 1)⋅2/5!]⋅n⁵⋅σ_t−2 + ···}　　ア
が成り立つ（変数名を L から n に変えた）。従って、
　　(μ − 1/2)⋅n⋅S_2t(2h − 1)　と　S_2t+1(2h − 1)　の差
は、見掛け上 n³ = (2h)³ の倍数。しかしこの (2h)³ が持つ因子 2 の一つまたは二つは、 1/2 ないし μ⋅1/3! = μ/6 の分母と約分されて消える可能性があるから、二つの数の差アは、必ずしも (2h)³ の倍数ではない。

アが h³ の倍数であることは明らかなので、 (h − t − 1/2)⋅n⋅S_2t(2h − 1) と S_2t+1(2h − 1) は、（少なくとも）法 h³ の下で合同:
　　(2h − 2t − 1)⋅h⋅W_2t(2h) ≡ W_2t+1(2h) (mod h³)　　イ
　　∴　(n − 2t − 1)⋅h⋅W_2t(n) ≡ W_2t+1(n)

k = n − 2t − 1 と置くと 2t = n − k − 1 なので:
　　khW_n−(k+1)(n) ≡ W_n−k(n)
　　∴　kh [n S k + 1] ≡ [n S k] (mod h³)　　ウ

これが「第10公式」のデフォルト・ケースに当たる（cf. [7], §20）。仮定により n = 2h は偶数、かつ 0 ≤ 2t ≤ n − 2 なので k は 1 以上 n − 1 以下の奇数。

もし k = n − 1 なら t = 0 なので、イの右辺は S₁(2h − 1) = (2h − 1)⋅2h/2 = (2h − 1)⋅h に等しく（1 から 2h − 1 までの各数の和）、つまりイの左辺と等しい。その場合、合同式イは（従ってウは）実際には等式であり、自明。他方、 n = 2 (h = 1) なら、これらは法 1 に関する合同式であり、やはり自明。以下では自明なケースを除外して、 n を 4 以上の偶数、かつ k を 1 以上 n − 3 以下の奇数（t = 1, 2, ···, h − 1）と仮定する。

非自明な最小のケースは n = 4, k = 1 の
　　1⋅2⋅[4 S 2] ≡ [4 S 1] (mod h³)
だ。 [4 S 2] = 11, [4 S 1] = 6 なので、この合同式は
　　2 × 11 ≡ 6 (mod 8)
を意味し、確かに正しい（この例では、法を 2⁴ = 16 にしても合同式が成り立つ）。

h が 3 以上の素数 p の場合、一般にはアの σ_t−1 などからも素因子 p が生じ、合同式イないしウは、法 h³ のみならず法 h⁴ の下でも成り立つ。

§19　先に h が合成数のケースを観察しておく。

h = 4 (n = 8) の場合、ウは、次の各数が 4³ = 2⁶ で割り切れることを含意する。実際そうなっている:
　　1⋅4⋅[8 S 2] − [8 S 1] = 4⋅13068 − 5040 = 47232 = 2⁸ × 369
　　3⋅4⋅[8 S 4] − [8 S 3] = 12⋅6769 − 13132 = 91988 = 2⁹ × 133
　　5⋅4⋅[8 S 6] − [8 S 5] = 20⋅322 − 1960 = 4480 = 2⁷ × 35

h = 6 (n = 12) の場合、次の各数が 6³ = 2³⋅3³ で割り切れねばならない。
　　1⋅6⋅[12 S 2] − [12 S 1] = 6⋅120543840 − 39916800 = 2⁶⋅3³ × 395455
　　3⋅6⋅[12 S 4] − [12 S 3] = 18⋅105258076 − 150917976 = 2⁵⋅3³ × 2018203
　　5⋅6⋅[12 S 6] − [12 S 5] = 30⋅13339535 − 45995730 = 2⁴⋅3⁴ × 273295　◎
　　7⋅6⋅[12 S 8] − [12 S 7] = 42⋅357423 − 2637558 = 2⁶⋅3⁴ × 2387　◎
　　9⋅6⋅[12 S 10] − [12 S 9] = 54⋅1925 − 32670 = 2⁴⋅3⁴ × 55　◎
いずれも十分に条件を満たす。特に◎印では、法 6³ のみならず法 6⁴ の下でも合同。追加された因子 3 の供給元（因子 2 はもともと余分にある）は、いろいろ。 k = 5 のケースでは σ_t−1 が 3 の倍数で、かつ μ = 3 なので、 3 を約した後で余分の因子 3 が一つ残る（t は n − k − 1 の半分に等しい。 μ は h − t に等しい）。 k = 7, 9 のケースでは σ_t−1 は 3 の倍数ではないが、 4μ² − 1 が 9 の倍数で、やはり 3 を約した後で余分の因子 3 が残る。

n = 18 (h = 9) の場合、 k = 1, 7 のとき法 9⁴ の下で「第10公式」成立。追加の因子 3 は μ または 4μ² − 1 または σ_t−1 から供給される（一つは約されるので合計 3 個必要）。

n = 30 (h = 15) に至っては、ほとんどのケースで合同式が法 15⁴ の下で成立し、法 15⁵ の下で成立するケースも少なくない。例えば:
　　25⋅15⋅[30 S 26] − [30 S 25] = 15⁵ × 448630
この場合も追加の因子 15 に必要な素因子 3 と 5 は、 μ または 4μ² − 1 または σ_t−1 から供給される。例えば上記 k = 15 の例では t = 2, μ = 13 なので
　　4μ² − 1 = (2μ + 1)(2μ − 1) = 27⋅25 = 3³⋅5²
であり、この部分からだけでも――n³ = (2⋅15)³ とは別に――追加の因子 15² が供給される。

h = 27 では 5 乗を超える法が生じる。
　　1⋅27⋅[54 S 2] ≡ [54 S 1] (mod 27⁸)
　　3⋅27⋅[54 S 4] ≡ [54 S 3] (mod 27⁷)
　　5⋅27⋅[54 S 6] ≡ [54 S 5] (mod 27⁶)
　　7⋅27⋅[54 S 8] ≡ [54 S 7] (mod 27⁶)

このように、 h が素数でなくても「第10公式」が h⁴ やそれより高次の法において成り立つことは、珍しくない。むしろ h が合成数だからこそ、「特定の一つの因子が h = p⋅p′⋅p″··· の倍数でなくても、別々の因子から素因子 p, p′, p″ 等々が供給され、全体として因子 p が生じる」ということが起こり得る。対照的に、もし h = p が素数ならどれかの因子が p の倍数でない限り因子 p は生じ得ず、その結果として――「第10公式」の法は一定の規則に従って h⁴ ないし h⁵ になり、デフォルトの h³ よりは高次であるものの―― h⁵ を超える法の下で公式が成り立つことは（h が合成数の場合と比べて）起こりにくいかもしれない。

§20　h が素数 p の場合、式ア（§18）において、もし 1 ≤ t − 1 ≤ p − 2 かつ t − 1 ≠ (p − 1)/2 ならば――すなわち、もし 2 ≤ t ≤ p − 1 かつ t ≠ (p + 1)/2 ならば―― σ_t−1 からも因子 p が供給されるため（補題7）、そのとき「第10公式」は法 p⁴ の下で成り立つ。

定義により奇数 k は = n − 2t − 1 = 2p − 2t − 1 なので、 t に関する上記の条件は、奇数 k についての条件 1 ≤ k ≤ 2p − 5 かつ k ≠ p − 2 と同値。特に k が = 2p − 3 の場合、 σ_t−1 から追加の因子 p は供給されない（k = 2p − 1 の場合は、因子 p の個数を考えるまでもなく、公式は自明な等式となる: §18）。さらに p = 3 のときには条件を満たす k は存在しない。

t = (p + 1)/2 の場合（k = p − 2）、 σ_t−1 からは因子 p は供給されないものの、 μ = (p − 1)/2 なので 4μ² − 1 = (2μ + 1)(2μ − 1) から因子 p が一つ供給され、結局、その場合、公式は法 p⁴ の下で成り立つ。一方、 k = p の場合、 t = (p − 1)/2, μ = (p + 1)/2 なので、 σ_t−1 からも 4μ² − 1 からも因子 p が供給され、公式は法 p⁵ の下で成り立つ。

要約すると、次の通り。

定理5（上側偶数のスターリング数に関する合同式: cf. Glaisher [7], §53）　n = 2h が 4 以上の偶数で、 k が 1 以上 n − 3 以下の奇数のとき、法 h³ の下で次の合同式が成り立つ。
　　kh [n S k + 1] ≡ [n S k]
もし h が 5 以上の素数 p で k が n − 5 以下なら、同じ合同式が法 p⁴ の下で成り立つ。特に k = p なら、この合同式は法 p⁵ の下で成り立つ。

〔注〕　n = 4, 6 の場合、例外的な状況が起きるが、結論としては命題は正しい。

h = p = 7, n = 14 の例。
　　1⋅7⋅[14 S 2] − [14 S 1] = 7⁴ × 55140480
　　3⋅7⋅[14 S 4] − [14 S 3] = 7⁴ × 166593960
　　5⋅7⋅[14 S 6] − [14 S 5] = 7⁴ × 44484154
　　7⋅7⋅[14 S 8] − [14 S 7] = 7⁵ × 346632
　　9⋅7⋅[14 S 10] − [14 S 9] = 7⁴ × 31746
　　11⋅7⋅[14 S 12] − [14 S 11] = 7³ × 572

定理5はあくまで「最低限の保証」であり、実際にはもっと高い次数の法で合同式が成り立つこともある。次の「6乗数の法」の合同式は印象的。
　　1⋅5⋅[10 S 2] − [10 S 1] = 5⁴ × 7632
　　3⋅5⋅[10 S 4] − [10 S 3] = 5⁴ × 15492
　　5⋅5⋅[10 S 6] − [10 S 5] = 5⁶ × 84
　　7⋅5⋅[10 S 8] − [10 S 7] = 5³ × 168

素数 p = 37 の場合、 k = p のとき法 p⁵ の下で合同式が成り立つのは定理の通りだが、それ以外に k = 3 と k = 39 の場合にも、法 p⁵ が有効。 p = 59 の場合、 k = p の他 k = 13, 71 でも法 p⁵ が有効。のみならず、次の合同式は法 p⁶ の下でも成立する。
　　71⋅59⋅[118 S 72] ≡ [118 S 71] (mod 59⁶)

2026-07-11　博士の愛した公式（その4）　田舎の村よ［1764 = 42²］

デンマークの Niels Nielsen が「スターリング数」という用語を使い始めたのは20世紀の初めだが、19世紀末にも（そういう呼び名がなかっただけで）「スターリング数」は既に研究されていた。 Nielsen 自身の1893年の論文は、その嚆矢（こうし）だろう。英国の J. W. L. Glaisher の1900年の論文 [7] は、当時の知見の集成。大部分は Glaisher 自身による新発見。

Glaisher [7] は、有名な「ウォルステンホーム（Wolstenholme）の定理」に触発されている――この定理には軽妙なパズルのような要素があって、好奇心を刺激する。
　　1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = 25/12
の分子 25 は 5² の倍数です、なぜでしょう？　というのが最小の具体例。定理の内容がシンプルで分かりやすく、簡単に証明できそうに見えて、それほど簡単でもない。 Dickson の数論史に記載があるだけでも当時、既に10種類くらいの証明がいろいろな研究者によって発表された。21世紀の現在でも、新証明が公表されている。

Wolstenholme の定理は 1862年に Quarterly Journal 誌に掲載された。1870年代に Glaisher は同誌の編集者となり、 [7] もこのジャーナルに掲載されることになる。しかも、巻頭35ページ！　編集者権限^‡で雑誌を私物化してるふしもあるけど（笑）、内容が興味深い上、恐らく人類史上初めて n = 23 までの^†スターリング数の表を掲載した力作（n = 9 までの表は、スターリング自身によって1730年に出版されている^¶）。

† 20世紀後半の Abramowitz & Stegun の数表でも n = 25 まで。
https://archive.org/details/handbookofmathem1964abra/page/833/mode/1up

‡ 他の編集者が徐々に抜け Glaisher は実質的に「一人編集長」となっていた（Messenger of Mathematics 誌に関しても同様だった）。
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Obituaries/Glaisher_RAS/

¶ James Stirling (1730), Methodus differentialis: sive Tractatus de summatione et interpolatione serierum infinitarum, p. 11
https://archive.org/details/10053880bsb/page/11/mode/1up

スターリング数のもともとの定義は単純。 x(x + 1)(x + 2)···(x + m) のような積を展開したらどうなるか？　その係数を問題にする。例えば、
　　x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = x⁵ + 10x⁴ + 35x³ + 50x² + 24x
の右辺の係数 1, 10, 35, 50, 24 の一つ一つがスターリング数の例。このような n 次式の k 次の項の係数は、現代の記号では [n S k] に当たる（読み方は「n サイクル k」）。例えば、上の5次式で x² の係数は 50 なので [5 S 2] = 50 と。で、この [5 S 2] で表される数が 5² の倍数なのは偶然ではなく、上掲の「ウォルステンホームの定理」の分子が 5² の倍数であることと同値。分かってみると当たり前なんだけど、最初は「な～るほど！」と結構、感動する。

§21　Wolstenholme の定理に関連して、分数を足し算するために、例えば次のような（ひどく機械的な）通分をしたとしよう:
　　1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 = (2⋅3⋅4)/(1⋅2⋅3⋅4) + (1⋅3⋅4)/(1⋅2⋅3⋅4) + (1⋅2⋅4)/(1⋅2⋅3⋅4) + (1⋅2⋅3)/(1⋅2⋅3⋅4)　　カ

カの右辺の各項の分子は、 1, 2, 3, 4 の四つの数を三つずつ（可能な全部のパターンで）掛けたもの。実際、 1, 2, 3, 4 の四つの数のそれぞれを「因子」と呼ぶなら、四つの因子の積 1⋅2⋅3⋅4 である分母と比べたとき、右辺の一つ目の分子には因子 1 が無く、二つ目の分子には因子 2 が無く、三つ目の分子には因子 3 が無く、四つ目の分子には因子 4 が無い。

カの右辺は、左辺を通分したもの。逆に言えば、左辺を約分すると右辺になる。よって、当然上記の単純な関係が成り立つ。これらの分子（三つの因子の積）たちが「1 から 4 までの数を三つずつ掛けたもの」を全種類、過不足なく含んでいることは明らか。

一方、 1, 2, 3, 4 を解とする4次方程式を考えると:
　　(x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4) = x⁴ − 10x³ + 35x² − 50x + 24　　キ

解と係数の関係から、「解 1, 2, 3, 4 を三つずつ掛けた積の和」は、絶対値において、 1 次の係数 50 と一致する（正確に言うと、キの右辺の1次の項の係数は、「−1, −2, −3, −4 を三つずつ掛けた積の和」なので、負の数たちの和になるが、「1, 2, 3, 4 を三つずつ掛けた積の和」と符号が違うだけ）。言い換えると、カの右辺の分数の足し算の結果は、
　　(50)/(1⋅2⋅3⋅4)
となる（約分前の機械的計算としては）。この分子が、分母の最大の因子 4 より 1 大きい素因子 p = 5 を持つとしても（実際、二つ持つのだが）、分母には 4 以下の因子しかないのだから、その素因子 p が約分されて消える可能性はない。

要するに、この場合、約分のことを気にせず、「機械的に通分して足し算したら分子が p² の倍数になるか？」という点だけを問題にすればいい。そして「機械的に足し算した分子」とは 1 から p − 1 までの数の「p − 2 個ずつの積」の和に他ならない。

さて、係数の符号の違いを無視するなら、上記の4次式キは、スターリング数を定義する次の式と、実質同じ:
　　x(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = x⁵ + 10x⁴ + 35x³ + 50x² + 24x　　ク

結局、カの和の分子が 5² の倍数になる、という主張は、キの x の係数が 5² の倍数になる、という主張と同値であり（符号の違いを無視すれば、後者は、約分前の前者と同一の整数）、後者の主張は、スターリング数の記号を使うと、
　　[5 S 2]
が 5² の倍数ということ。

同様に、
　　1/1 + 1/2 + 1/3 + ··· + 1/6
の分子が 7² の倍数になる、という主張は、
　　x(x + 1)(x + 2)··· (x + 6) = x⁷ + 21x⁶ + 175x⁵ + 735x⁴ + 1624x³ + 1764x² + 720x
の x² の係数 [7 S 2] = 1764 は 7² の倍数、という主張と同値。実際、分数の足し算を機械的な通分によって行うなら、分子は 1 から 6 までの数の「五つずつの積」の和になり、それは根と係数の関係から、この 1764 という数になる。

1764
（田舎の村よ）
平方数 42²
441 × 4
（ヨヨイのヨイ）
441
平方数 21²
= 1³ + 2³+ 3³
+ 4³ + 5³ + 6³

果たして、定理の予言通り 1764 は 42² = (6⋅7)² なので 7² で割り切れる。ところで、この平方数の「普通」の暗算法は
　　(40 + 2)² = 1600 + 2⋅40⋅2 + 2²
だが、代わりに、こう考えてもいいだろう:
　　6² × 7² = 36 × (50 − 1) = 36 × 50 − 36 = 1800 − 36
あるいは単に 21² = 441 の 4 倍。

これは「ウォルステンホームの定理」を「スターリング数についての命題」に言い換えただけで、証明したわけではない――実際の証明には多少のトリックが必要。ウォルステンホームの定理だけが問題なら、上記のような「整数を係数とする多項式」をそのまま考える代わりに、それを mod p ないし mod p² で考えてフェルマーの小定理と組み合わせるのが早道かと（別のメモ参照）。以下では、ウォルステンホームの定理は「証明すべき目標・ゴール」ではなく「スタート地点」となる。

§22　Glaisher は次のことを観察した。 p が 5 以上の素数のとき、 [p S 2] だけでなく、 p − 3 以下の任意の正の偶数 k に対して [p S k] は p² で割り切れる。例えば:
　　[7 S 2] = 1764 = 7² × 36
　　[7 S 4] = 735 = 7² × 15

既述のように、記号 [7 S k] は、7次式
　　(x + 0)(x + 1)(x + 2)··· (x + 6) = x⁷ + 21x⁶ + 175x⁵ + 735x⁴ + 1624x³ + 1764x² + 720x¹
の x^k の係数に当たる。この左辺を定義通りに真面目に展開するのは、困難ではないが面倒くさい。ここでは計算問題を考えているわけではないので、具体的な計算法については気にせず、何らかの方法でスターリング数（つまり上記のような係数）は既に求まっている、と想定する。

Glaisher は σ_r なる関数を定義し、それを使って上記の事実を一般的に証明した。約7年前に Nielsen も、同じ命題を記している^†―― Nielsen が「スターリング数」という用語の創始者であることは、偶然ではあるまい。誰が最初の発見者かはさておき、任意の偶数 k = 2, 4, ···, p − 3 について、
　　[p S k] ≡ 0 (mod p²)
が成り立つ。そしてその観点から見ると、 Wolstenholme の定理は「その一例」（k = 2 の場合）。 p が素数のとき、 1 < k < p の範囲の任意の整数 k について
　　[p S k] ≡ 0 (mod p)
が成り立つことは、既に Lagrange によって証明されていた（Wilson の定理を証明する手段として）。 k が同じ範囲にある偶数のとき、 k = p − 1 のケースを除けば、法を p から p² に上げられる――というのが Nielsen ないし Glaisher の発見であり、 k = 2 のケースが（本質的には） Wolstenholme の定理に当たる。

Glaisher はそこで止まらず、さらに p が 5 以上の素数の場合の [2p S k] について検討した。そこで思わぬアクシデントが…。 Glaisher が最初に記した命題は、有効な k の範囲が本来の半分程度という中途半端なものだった。例えば、 p = 5 の場合、
　　[2p S k] ≡ 0 (mod p²)
は k = 3, 5, 7 に対して成り立つ（この場合 k は奇数）。ところが Glaisher は、 k = 7 の場合についてしか証明を与えなかった。50節から成るかなり長い論文を書き終え、出版準備中にそのことに気付き、 Glaisher は急きょ第51～59節を追記、もともとの50節のあちこちに脚注を付け加えた。「構成は継ぎはぎだらけだが、全体としては結果オーライ」と言いたいところだが、このどさくさが一因となって、 Glaisher は、
　　kp [2p S k + 1] ≡ [2p S k]
が mod p⁴ で成り立つ条件を確定させながら、「特に k = p なら、この合同式は mod p⁵ で成り立つ」という「一番おいしい部分」を書く機会を失ってしまったらしい！

† Niels Nielsen (1893), “Om Potenssummer af hele Tal” [整数のべき和について], Nyt Tidsskrift for Matematik, Afdeling B, 4, p. 4, Eq. (17)
Glaisher [7] は1900年。命題自体は Messanger (1889), 28 で報告された。二人の研究は異なる文脈のもので、 Glaisher は Nielsen の論文のことを知らなかったようだ。

§23　自明なスターリング数。 n を 1 以上の整数、 k を 0 以上 n 以下の整数とする。スターリング数の定義に使われる多項式は:
　　n = 1　⇒　x = 1x¹ + 0
　　n = 2　⇒　x(x + 1) = 1x² + 1x¹ + 0
　　n = 3　⇒　x(x + 1)(x + 2) = 1x³ + 3x² + 2x¹ + 0
　　　︙
一般に、右辺の中間の項を略すなら、
　　x(x + 1)(x + 2)···(x + n − 1) = 1xⁿ + Axⁿ⁻¹ + ··· + Bx¹ + 0
と書くことができる（A, B は何らかの係数）。いずれの場合も、定数項（つまり x⁰ の係数）は、もちろん 0 なので、定義によって、
　　[n S 0] = 0　　ケ
であり、 n 次の項（つまり 1xⁿ）の係数は、もちろん 1 なので、
　　[n S n] = 1　　コ
である。さらに、根と係数の関係から x^n-1 の係数 A は、全部（n 個）の根の和の符号を変えたもの、つまり
　　−[0 + (−1) + (−2) + ··· + (−n + 1)] = 0 + 1 + 2 + ··· + (n − 1)
　　 = (n − 1)n/2
であり（この多項式は x + α の形の1次式の積。符号を細かく検討するまでもなく、 α は負でないから、全係数が負でないことは明白）、同様に、 x¹ の係数 B は、全部の根の「n − 1 個ずつの積」の和だから（そして 0 を含む積は無いのと同じだから）、
　　B = 1⋅2⋅3···(n − 1) = (n − 1)!
である。従って、
　　[n S n − 1] = (n − 1)n/2　　サ
は簡単に求まり（いわゆる三角数）、
　　[n S 1] = (n − 1)!　　シ
も、明快な値を持つ。一つだけ注意しなければならないのは、上記の議論では n を 1 以上の整数としている。 n = 0 の場合には
　　[0 S 0] = 1
と約束する（ケよりコが優先される）。 n = 0 の場合、シと無関係に [0 S 1] = 0、一般に 0 ≤ n < k なら [n S k] = 0。サは n = 0 に対しても真。

§24　p を奇素数とする。 [2p S 0] = 0, [2p S 2p] = 1 は自明（前節ケ・コ）。 1 ≤ k ≤ 2p − 1 の場合に話を限る。

【1】　偶数 k = 2 と k = p + 1 の場合を除くと、 [2p S k] は p の倍数（§14）。

【2】　特に k が奇数なら、 k = 1 と k = 2p − 1 の場合を除き、 [2p S k] は p² の倍数。中でも k = p の場合には [2p S p] ≡ −2p² (mod p³) が成り立つ（§16）。

【1.1】　例外ケース k = 2 と k = p + 1 では、 [2p S k] は、それぞれ ≡ 1, −2 (mod p) となる（補題6）。

【2.1】　例外ケース k = 1 と k = 2p − 1 では、 [2p S k] が p の倍数であることに変わりないが、 p² の倍数ではなく、それぞれ ≡ p, −p (mod p²) となる。

証明　【2.1】以外は証明済み。【2.1】について。 k = 1 の場合、前節シから:
　　[2p S 1] = (2p − 1)! = {(p + 1)(p + 2)···(p + (p − 1))} × p × (p − 1)!
この整数を m とすると:
　　m/p = {(p + 1)(p + 2)···(p + (p − 1))} × (p − 1)!
右辺 { } 内は法 p の下で ≡ 1⋅2···(p − 1) ≡ (p − 1)! なので、 Wilson の定理から:
　　m/p ≡ (p − 1)! × (p − 1)! ≡ (−1) × (−1) ≡ 1 (mod p)
つまり m/p は p の倍数より 1 大きい。ゆえに、その p 倍である m は、 p² の倍数より p 大きい。

次。 k = 2p − 1 の場合、前節サにより、次の三角数が生じる:
　　[2p S 2p − 1] = (2p − 1)2p/2 = (2p − 1)p = 2p² − p
この右辺は p² の倍数より p 小さい。∎

〔注〕　最後の三角数は p³ より小だから [2p S 2p − 1] ≡ 2p² − p (mod p³) が成り立つ。同じ結論は §16 のメで t = 0 と置くことによっても得られる。

数値例　p = 5, n = 2p = 10 のケースが分かりやすい（5 の倍数や 25 の倍数は一目瞭然なので）。 X 欄は [10 S k]、 Y 欄は X を 5 で割った余り、 Z 欄は X を 5² で割った余り。

【表1】　n = 10 のときの（符号なし）第一種スターリング数（1 ≤ k ≤ 9）
k	1	2	3	4	5	6	7	8	9
X	362880	1026576	1172700	723680	269325	63273	9450	870	45
Y	0	1	0	0	0	3	0	0	0
Z	5	1	0	5	0	23	0	20	20

【1】の予言通り、この範囲内では k = 2 と k = p + 1 の場合を除くと X は全部 p で割り切れ（Y 欄参照。 k = 10 のときの X = 1 は考察範囲外）、【1.1】の予言通り k = 2 なら Y は p の倍数より 1 大きく、 k = p + 1 なら p の倍数より 2 小さい。【2】の予言通り、 k が奇数なら、 k = 1 と k = 2p − 1 の場合を除くと X は全部 p² で割り切れ（Z 欄）、【2.1】の予言通り k = 1 なら Z は p² の倍数より p 大きく、 k = 2p − 1 なら p² の倍数より p 小さい。

【2】には、 k = p のときの X = 269325 は p³ の倍数より 2p² 小さい、という主張も含まれている。現に
　　269325 = 2154 × 5³ + 75
で、 75 は 5³ = 125 より 2⋅5² = 50 だけ小さい！

〔コメント〕　k が偶数の場合の Z 欄にも何らかのパターン性が潜んでいそうだが、今は深入りしない。上側インデックスが 3p, 4p などの場合も気になるところだが。

これらの性質は p = 5 に限らず、任意の奇素数 p について成り立つ。 p = 3, n = 6 の例。 X, Y, Z の意味は上と同様（X を 3 で割った余りが Y、 3² で割った余りが Z）。

【表2】　n = 6 の場合（1 ≤ k ≤ 5）
k	1	2	3	4	5
X	120	274	225	85	15
Y	0	1	0	1	0
Z	3	4	0	4	6

【1】の予言通り k = 2 と k = p + 1 の場合を除くと X は全部 p で割り切れ（Y 欄）、【1.1】の予言通り k = 2 なら Y は p の倍数より 1 大きく、 k = p + 1 なら p の倍数より 2 小さい（p = 3 の場合、その二つは同じ意味）。【2】の予言通り、 k が奇数なら、 k = 1 と k = 2p − 1 の場合を除くと X は全部 p² で割り切れ（Z 欄: p = 3 の場合、該当するのは k = 3 のみ）、【2.1】の予言通り k = 1 なら Z は p² の倍数より p 大きく、 k = 2p − 1 なら p² の倍数より p 小さい。

【2】には、 k = p のときの X = 225 は p³ の倍数より 2p² 小さい、という主張も含まれている。現に
　　225 = 8 × 3³ + 9
で、 9 は 3³ = 27 より 2⋅3² = 18 だけ小さい！

§25　k を奇数とする。定理5
　　[2h S k] ≡ kh [2h S k + 1] (mod h³)　　タ
は、 Glaisher 自身の表記法では W_2h−k(2h) ≡ khW_2h−(k+1)(2h) に当たり（§18参照）、 k = 2h − 2t − 1 と置くと:
　　W_2t+1(2h) ≡ (2h − 2t − 1)⋅h⋅W_2t(2h)　つまり
　　(2h − 2t − 1)⋅h⋅W_2t(2h) − W_2t+1(2h) ≡ 0　　チ

σ_r = σ_r(h − 1; 2h) に関連して、公式 (iii) から:
　　W_2r(2h) ≡ σ_r (mod h²)
（§16参照）。ゆえに、もし W_2(t−1)(2h) が h の倍数なら、 σ_t−1 もそう。公式 (iii) の (μ − ½)L 倍から公式 (iv) を引くことで、
　　(μ − 1/2)⋅2h⋅W_2t(2h) − W_2t+1(2h) ≡ (1/2)(4μ² − 1)⋅(μ/3!)⋅(2h)³⋅σ_t−1 (mod h⁵)　　ツ
を得ることができる。 μ = h − t は便宜上の変数で、ツは次と同じ意味:
　　(h − t − 1/2)⋅2h⋅W_2t(2h) − W_2t+1(2h) ≡ (1/2)[4(h − t)² − 1]⋅[(h − t)/3!]⋅(2h)³⋅σ_t−1 (mod h⁵)　　テ

従って、もし σ_t−1 が h の倍数なら、ツ（ないしテ）の右辺は h⁴ の倍数であり、そのときチは（従ってタは）法 h⁴ の下で成り立つ。

要するに h が W_2(t−1)(2h) を割れば、タは法 h³ のみならず法 h⁴ で有効。ところが h = p が奇素数の場合、 W_y(2p) = [2p S 2p − y] は、少数の例外を除き p で割り切れるのだから（ここでは y = 2t − 2）、この「4乗数を法とする合同式」は（p が奇素数で k が奇数なら）原則として常に成り立つ。前節【1】を参照すると、例外の一つの可能性は、下側インデックス 2 の場合。すなわち 2p − y = 2p − 2t + 2 = 2 つまり t = p の場合。これは k = −1 を含意する（仮定により k = 2p − 2t − 1 だから）。タの下側インデックスが負になってしまい、題意に適さない。

あえて数値を言うと、 k = −1 ならタの両辺とも整数 0。命題は自明で、興味に乏しい。

問題はもう一つの例外、すなわち 2p − y = 2p − 2t + 2 = p + 1 の場合。これは 2t = p + 1 を含意する。この場合、確かに σ_t−1 は p で割り切れず、ツないしテの右辺において、素因子 h = p の供給源が一つなくなる。ところが、このケースでは μ = h − t = p − t = p − (p + 1)/2 = (p − 1)/2 であり、ツないしテには、
　　4μ² − 1 = (2μ + 1)(2μ − 1)　　ト
という因子もあるため、結局（この別の場所から）追加の素因子 p が供給され（μ = (p − 1)/2 なら 2μ + 1 = p である）、結果的には（通常のケースと同様に）法 p⁴ の下での合同が維持される。 k = 2p − 2t − 1 なので、 k = p − 2 の場合に当たる（具体例）。

最後に（これは例外というより自明だが）、 y = 0 の場合、 W_y(2p) = [2p S 2p − y] = 1 は p で割り切れない。 k = 2p − 3 のケースに当たる。この場合、追加の素因子 p は供給されず、合同式の法は p⁴ ではなくデフォルトの p³ にとどまる。

結論として、タが法 h⁴ の下で成り立つための十分条件は、 h = p が 5 以上の素数で、奇数 k が 1 ≤ k ≤ 2p − 5 の範囲にあること。タの [2p S k] を Glaisher 風に W_r(2p) ないし S_r(2p − 1) と書くなら（r = 2p − k）、奇数 r が 5 ≤ r ≤ 2p − 1 の範囲にあること。 σ_t−1 が p で割り切れないケース k = p − 2 は、 Glaisher の記法では r = p + 2 に当たる。

〔注〕　h = p = 3, k = 1 のケースは特殊であり、除外される。その場合 k = 1 は上記不等式の範囲内にあり、実際ツないしテにおいて素因子 3 が四つ生じるものの、分母に 3 があるため素因子の一つは約されてしまい、法は p³ にとどまる。任意の奇素数 p ≥ 3 に対して k = 2p − 1 の場合、タの両辺は整数として等しく（§18）、従って法 p⁴ は自明に有効だが、ここでは自明なケースを無視する。

トからの素因子 p の供給は、 μ = (p − 1)/2 つまり t = (p + 1)/2 の場合だけでなく、 μ = (p + 1)/2 つまり t = (p − 1)/2 の場合にも起きる。後者の場合、 σ_t−1 からも素因子 p が供給されるため、法 p⁵ の下で合同式が成り立つ。タで k = p の場合に当たる。変則的な事例として、 p = 3, k = 3 の場合、分母の 3! との約分によって素因子 3 が一つ失われるものの、トからも素因子 3 が供給されるので、デフォルトの法 p³ が維持される。

現代では、第一種スターリング数に、組み合わせ論的な再解釈も与えられている。 n 個の物を並び替える n! 種類の方法のうち、 k 個の「サイクル」で表現されるものはいくつあるか―― [n S k] は、そのカウントでもある。

Glaisher [7] は59節から成り、多くの命題を含むが、この mod p⁴ の合同式（特に上側インデックスが偶数のケース）が一つのヤマ場だろう。（続く）

2026-07-14　博士の愛した公式（その5）　mod p⁵

kp [2p S k + 1] − [2p S k] を p⁵ で割った余り（k: 奇数）。特に、割り切れるケースについて。

§26　p ≥ 5 を素数とする。自明なケースも含めると、法 p⁴ の下での合同式
　　kp [2p S k + 1] ≡ [2p S k] (mod p⁴)　　ナ
は、 k = 2p − 3 の場合を唯一の例外として、任意の奇数 k に対して成り立つ（§25）。ナは、
　　(1/2)[4(p − t)² − 1]⋅[(p − t)/3!]⋅(2p)³⋅σ_t−1　　ニ
が p⁴ で割り切れることと同値（§18、§25・テ参照）。ここで
　　k = 2p − 2t − 1　つまり　t = p − (k + 1)/2
であり、 σ_j は σ_j(p − 1; 2p) を表す（定義）。もし、より強く、ニが p⁵ で割り切れるなら、ナは法 p⁵ の下で成り立つ。

ナの左辺と右辺の差は、法 p⁵ の下でニと合同。もしニが p⁵ で割り切れず p⁴ で割り切れるなら、ナの両辺の差は αp⁵ + βp⁴ の形だから、法 p⁴ の下でナは成り立つ。もしニが p⁴ で割り切れず p³ で割り切れるなら、ナの両辺の差を αp⁵ + βp⁴ + γp³ と書けるから、法 p³ の下でナは成り立つ。

非自明なケース k = 1, 3, ···, 2p − 3 に話を限るなら（1 ≤ t ≤ p − 1）、 p⁴ がニを割るためには、《ア》 p が 4(p − t)² − 1 を割るか、または《イ》 p が σ_t−1 を割ることが必要十分。《ア》は t = (p ± 1)/2 つまり k = p − 2, p と同値、《イ》は t ≠ 1, (p + 1)/2 つまり k ≠ 2p − 3, p − 2 と同値。

《イ》について、 t = 1 なら σ_t−1 = 1 は p の倍数でない。 t = (p + 1)/2 の場合も、 σ_t−1 = σ_(p−1)/2 ≡ W_p−1(2p) ≡ −2 (mod p) は p の倍数でない（定理3）。しかし t = (p + 1)/2 の場合、《ア》が満たされるので、ナは成り立つ。 t = 1 の場合に限って（k = 2p − 3）、《ア》も《イ》も満たされず、ナは必ず不成立（法 p³ の下でなら、同じ合同式が成立）。 t = (p − 1)/2 の場合、《ア》と《イ》の両方が満たされ、ニは p⁵ の倍数（結果的に、法 p⁵ の下で合同式ナが成立）。

Glaisher の表記法では、ナは:
　　(2p − r)pS_r−1(2p − 1) ≡ S_r(2p − 1) (mod p⁴)
ここで:
　　k = 2p − r　従って　k + 1 = 2p − (r − 1)
　　[2p S 2p − y] = S_y(2p − 1) = W_y(2p), r = 2t + 1

変則的な k = p − 2 つまり t = (p + 1)/2 のケース（r = p + 2 に当たる）に関して、便宜上の変数 μ = p − t を使うと
　　μ = (p − 1)/2　そして　4μ² − 1 = 4[(p − 1)/2]² − 1 = p² − 2p
であり、従ってニは
　　(p² − 2p)⋅[(p − 1)/3]⋅p³⋅σ_(p−1)/2 = [p⁴(p − 2)(p − 1)/3]⋅σ_(p−1)/2
に等しいから p⁴ の倍数。ゆえに、このケースでもナが成り立つことが再確認される。のみならず σ_(p−1)/2 ≡ −2 (mod p) であるから（§16）、ナの両辺の差は、法 p⁵ の下で
　　p⁴ × (p − 2)(p − 1)(ℓp − 2)/3 ≡ −4p⁴/3　　ヌ
と合同（ℓ は何らかの整数）。すなわち k = p − 2 の場合:
　　3kp [2p S k + 1] − 3 [2p S k] ≡ −4p⁴ (mod p⁵)　つまり
　　3(p − 2)p [2p S p − 1] − 3 [2p S p − 2] ≡ −4p⁴ (mod p⁵)　　ネ

上記のようにして Glaisher は「第10公式」の証明を完成させ、関連する mod p⁵ の合同式ネについても付記している（[7], §53）。より単純で明白な k = p のケース
　　p⋅p [2p S p + 1] − [2p S p] ≡ 0 (mod p⁵)
が言及されていないのは、奇妙に思われる。

p = 5 の例では、 σ_(p−1)/2 = 1773 = 355p − 2 であり（ℓ = 355）、ヌの左辺 p⁴ × 3⋅4⋅1773/3 = 7092p⁴ は、 k = p − 2 = 3 のときのナの左辺と右辺の差 15492p⁴ と、法 p⁵ の下で（この例では、実際には法 p⁶ の下で）合同。現に 15492 − 7092 = 8400 は p で（実際には p² で）割り切れる。ヌの右辺を使って言い換えると:
　　15492p⁴ ≡ −4p⁴/3 (mod p⁵)
　　∴　15492⋅3 ≡ −4 (mod p)
（法 5 の下で、この最後の合同式は確かに成り立つ。）この場合、ナの両辺の差は 5⁴ で割り切れるのだから、その 3 倍であるネの左辺ももちろん 5⁴ で割り切れるが、 5⁵ では割り切れない。 5⁵ で割ったときの余りは (5 − 4)⋅5⁴ = 5⁴ = 625 に等しい。

p = 7 なら σ_(p−1)/2 = 712185 = 101741p − 2。ヌの左辺 p⁴ × 5⋅6⋅712185/3 = 7121850p⁴ は、 k = p − 2 = 5 のときのナの両辺の差 44484154p⁴ と、法 p⁵ の下で（この例では、実際には法 p⁷ の下で）合同。現に 44484154 − 7121850 = 37362304 は p で（実際には p³ で）割り切れる。ヌの右辺を使って言い換えると:
　　44484154p⁴ ≡ −4p⁴/3 (mod p⁵)
　　∴　44484154⋅3 ≡ −4 (mod p)
この場合、ネの左辺を 7⁵ で割ったときの余りは (7 − 4)⋅7⁴ = 3⋅7⁴ = 7203 に等しい。

同様に p = 11 の場合、ネの左辺を 11⁵ で割ったときの余りは 7⋅11⁴ に等しく、 p = 13 の場合、ネの左辺を 13⁵ で割ったときの余りは 9⋅13⁴ に等しい。

§27　ナの両辺の差は、法 p⁵ の下でニと合同:
　　kp [2p S k + 1] − [2p S k] ≡ (2/3)[4(p − t)² − 1]⋅(p − t)⋅p³⋅σ_t−1　　ハ
ただし t = p − (k + 1)/2, k = 2p − 2t − 1。

前節後半ではハの関係を利用して、 k = p − 2 のケースを mod p⁵ で観察した。同じ関係ハを利用して、 k = 2p − 3 のケース（法 p⁴ の下でナが成り立たないような、唯一の奇数 k）について、次の簡潔な命題を導くことができる。
　　(2p − 3)p [2p S 2p − 2] − [2p S 2p − 3] ≡ −2p³ (mod p⁴)　　ヒ

実際 k = p − 2 なら t = 1 なので:
　　[4(p − t)² − 1]⋅(p − t) = [4(p² − 2p + 1) − 1]⋅(p − 1) ≡ −3 (mod p)　　フ
これを (2/3)⋅p³ 倍し、 σ₁₋₁ = 1 に留意すると、ハから直ちにヒを得る。

例えば p = 5 としよう。 k = 7 のとき、ハの左辺
　　7⋅5⋅[10 S 8] − [10 S 7] = 7⋅5⋅870 − 9450 = 21000 = 5³ × 168
は、他の奇数 k の場合と違い 5⁴ で割り切れない。 5⁴ で割った余り 375 は、ヒから (5 − 2)⋅5³ = 3⋅125 に等しい。同様に p = 7, k = 11 のとき、
　　11⋅7⋅[14 S 12] − [14 S 11] = 11⋅7⋅3731 − 91091 = 196196 = 7³ × 572
は 7⁴ で割り切れないが、 7⁴ で割った余り 1715 は (7 − 2)⋅7³ = 5⋅7³ に等しい。

以上のような特殊なケース以外では、 σ_t−1 は素因子 p を一つ持ち、ハの右辺は素因子 p を四つ持つ。このような一般のケースにおいても、原理的には上記と同様の方法で、法 p⁵ の下でのハの値を決定することができる。すなわち、
　　C ≡ σ_t−1 ≡ W_2t−2(2p) (mod p⁴)
　　D ≡ (2/3)[4(p − t)² − 1]⋅(p − t) (mod p⁴)
と置くと、積 CDp³ は法 p⁵ の下でハと合同。

この問題は、 p 進法における「二つの数の積」の下4桁を求めることに、似ている。 CDp³ は p³ の倍数なので（いわば下3桁が 0 なので）、大ざっぱな方針としては C, D それぞれの「一般には 0 でない最下位桁」を求めて、それらの積を考えるだけでいい。すなわち、多くの場合、 C の2次の係数と D の1次の係数だけを考えれば十分（下記の例参照）。ただし素数 p の値によっては、そのような略式の計算では対応できないケースも存在する（後述）。

例えば t = 2 の場合（k = 2p − 2t − 1 = 2p − 5）、
　　D ≡ (2/3)[4(p − 2)² − 1]⋅(p − 2) ≡ (2/3)⋅15⋅(−2) ≡ −20 (mod p)
であり、一方、
　　W₂(n) = n(n − 1)(n − 2)(3n − 1)/24
であるから（問題4参照）:
　　C ≡ 2p(2p − 1)(2p − 2)(6p − 1)/24 ≡ −p/6 (mod p²)
　　∴　CDp³ ≡ 10p⁴/3 (mod p⁵)

この場合、上記の計算法は任意の素数 p ≥ 5 に対して有効で、ハの左辺の 3 倍について次の関係が成り立つ。
　　3(2p − 5)p [2p S 2p − 4] − 3 [2p S 2p − 5] ≡ 10p⁴ (mod p⁵)

〔例〕　p = 7 の場合（t = 2, k = 7）。 Δ = 9⋅7⋅[14 S 10] − [14 S 9] = 76222146 = 7⁴ × 31746 が 7⁴ で割り切れることは既知。 Δ は 7⁵ では割り切れず、 3Δ を 7⁵ で割った余りは、法 7⁵ の下で 10⋅7⁴ と合同。すなわち 3 倍して 7⁵ で割ると 3⋅7⁴ 余る。要するに（3 倍しないで）単に 7⁵ で割ると 7⁴ 余る。 31746 = 7q + 1 と書くなら（q = 4535）:
　　Δ = 7⁴ × (7q + 1) = 7⁵q + 7⁴

一般の場合、剰余類 CDp³ の決定は厄介。 t が小さい場合を除くと、 C の基となる多項式（p についての）を求めることがまず面倒。その上、素数 p の具体的な値によっては、多項式 CD の2次以上の係数が法 p⁵ の下での CDp³ の剰余類の区分に、影響し得る（係数 a₂ の分母が素因子 p を含む場合、 a₂p² の形の項の影響を無視できない。 a₃p³ やそれより高次の項も、係数の分母が素因子 p を十分に多くの個数含むなら、同様の影響を持つ）。とはいえ分母が含む素因子の個数は有限なので、十分大きい p に関しては、 CD の2次以上の項を無視しても、正確な答えを引き出せる。

mod p⁵ において（p ≥ 5）、ハは、 t = 1 なら 22p⁴/3 − 2p³ に合同（これは特殊なケース。フを mod p² で考えればいい）。 t = 2 なら 10p⁴/3 に合同（上述。 CD の係数の分母は、結果に影響しない）。 t = 3 なら −7p⁴/6 に合同（p ≠ 5）。 t = 4 なら 4p⁴/3 に合同（p ≠ 5, 7）。 t = 5 なら −11p⁴/4 に合同（p ≠ 5, 7）。等々。

§28　合同式 kp [2p S k + 1] ≡ [2p S k] は、法 p⁴ の下で成り立つ（p ≥ 5 は素数）。ここで:
　　μ = (k + 1)/2, t = p − μ

唯一の例外として、 k = 2p − 3 の場合（t = 1, μ = p − 1）、上記の合同式は、法 p⁴ の下では成り立たない（法 p³ の下でなら成り立つ）。

他方において、同じ合同式が、法 p⁵ の下で成り立つことがある。 k = p つまり t = (p − 1)/2, μ = (p + 1)/2 はその十分条件だが、必要条件ではない。 k ≠ p の場合でも、法 p⁵ が有効なケースが散在する。

最小の例は、 p = 37, k = 39 のとき。73桁の
　　[2⋅37 S 40] = 773 00940 94817 78300 70518 43372 81182 84853 47594 17819 77032 21890 81338 77488 43478
と、75桁の
　　[2⋅37 S 39] = 26053 66087 01790 16184 23879 22430 39981 03842 10289 64253 27305 55853 76445 12104 76378
は、次の関係を満たす（t = 17, μ = 20）:
　　37⋅39 [2⋅37 S 40] ≡ [2⋅37 S 39] (mod 37⁵)

同時に、次の関係も成り立つ（k = 3, t = 18, μ = 19）:
　　3⋅39 [2⋅37 S 4] ≡ [2⋅37 S 3] (mod 37⁵)

分析。 Δ = kp [2p S k + 1] − [2p S k] は、次の和に等しい。
　　(1/2)(4μ² − 1){[μ/3!]⋅(2p)³⋅σ_t−1 + [2μ(μ² − 1)/5!]⋅(2p)⁵⋅σ_t−2 + [3μ(μ² − 1)(μ² − 2²)/7!]⋅(2p)⁷⋅σ_t−3 + ···}
この { } 内の第2項以降は p⁵ の倍数だから^†、 mod p⁵ においては無いのと同じ:
　　Δ ≡ (4μ² − 1)⋅(2μ/3)⋅p³⋅σ_t−1 (mod p⁵)　　マ
同様に mod p⁶ ないし mod p⁷ の議論では、一般には { } 内の第2項を考慮する必要があるが、第3項以降は無いのと同じ:
　　Δ ≡ (4μ² − 1)[(2μ/3)⋅p³⋅σ_t−1 + (4μ(μ² − 1)/15)⋅p⁵⋅σ_t−2] (mod p⁷)　　ミ

† 第2項の分母の素因子 5 は約される。 μ ≡ 0, ±1 (mod 5) なら分子によって、 μ ≡ ±2 なら 4μ² − 1 によって。

t = 1 と t = (p + 1)/2 の場合を除き σ_t−1 は p の倍数なので、マの Δ は p⁴ の倍数。 k = p つまり μ = (p + 1)/2 なら 4μ² − 1 = (2μ + 1)(2μ − 1) も p の倍数なので、 Δ は p⁵ の倍数。 k = p − 2 つまり μ = (p − 1)/2, t = (p + 1)/2 のときも 4μ² − 1 は p の倍数だが、この場合、
　　σ_t−1 = σ_(p−1)/2 ≡ W_p−1(2p) ≡ −2 (mod p)
が p の倍数でないため（§16）、 Δ は p⁴ の倍数にとどまる。以上二つのケース（k = p, k = p − 2）以外では 4μ² − 1 は p の倍数ではない。一方、 k = 2p − 3 つまり t = 1 の場合、 σ_t−1 = 1 は p の倍数でないので、 Δ は p⁴ の倍数ではない（p³ の倍数ではある）。

ゆえに k = p なら Δ は必ず p⁵ の倍数だが、 k ≠ p の場合に Δ が p⁵ の倍数になるためには、
　　σ_t−1 ≡ W_2t−2(2p) (mod p²)
が p² の倍数であることが必要かつ十分。例えば、最初に挙げた p = 37, k = 39, t = 17 の場合、
　　W_2⋅17−2(2⋅37) = [74 S 42]
が素因子 p = 37 を二つ含む。 p = 37, k = 3, t = 35 の場合、
　　W_2⋅35−2(2⋅37) = [74 S 6]
が素因子 p = 37 を二つ含む。一般には y が偶数のとき [2p S y] は素因子 p を一つしか持たないのだから、その点において、これらの例は特異的。逆に言うと、
　　[2p S 2p − 2t + 2] ≡ 0 (mod p²)　　ム
を満たす素数 p ≥ 7 と非自明な偶数 2t があれば（4 ≤ 2t < 2p。 2t = 2 のときにはムは成り立たない）、そのとき W_2t−2(2p) ≡ σ_t−1 ≡ 0 (mod p²) が成り立ち、 Δ は p⁵ の倍数となる（k = 2p − 2t − 1)。 2t = p − 1 の場合には自動的に Δ は p⁵ の倍数となり、条件ムは必要ない。それ以外の場合、 Δ = 0 となる自明なケースを除外するなら、 p⁵ が Δ を割るためには、条件ムが必要かつ十分。

上記の主張は p = 5 に対しても正しい（p = 5 の場合、ムを満たすような非自明な 2t は存在しない）。

合同式マは、しばしば法 p⁶ の下でも成り立つ。実際、明らかな例外を除くと、任意の r に対して σ_r−1 は p の倍数。従って、マにはなくミで追加されている項は、多くの場合 p⁶ の倍数であり（σ_t−2 が p の倍数ならそうなる）、その場合 mod p⁶ において、無いのと同じ。言い換えると W_2r(2p) と σ_r(p − 1; 2p) の合同関係は（一般には法 p² の下でのものだが）、多くの場合、法 p³ の下でも成り立つ。その場合、もし W_2t−2(2p) が p³ の倍数なら σ_t−1 もそうなる。

この理由から、もし仮にムが成り立つだけでなく、
　　[2p S 2p − 2t + 2] ≡ 0 (mod p³)　　メ
が成り立つなら、 Δ は p⁶ の倍数になり得る。現に p = 59, k = 71, t = 23 に対してメが成り立ち、 Δ が p⁶ の倍数となる。

p = 5, k = 5, t = 2 の場合にも p⁶ は Δ を割るが、それはマが法 p⁶ の下においては成り立たないケースに当たり、別のメカニズム（合同式ミ）に基づく。全数検索によると、 p < 500 の範囲には、以上二つの他に p⁶ が Δ を割る非自明な例は存在しない（つまりメが成り立つ例は、この範囲に一つしかない）。合同式メは、極めて成り立ちにくいようだ。

一方、合同式ムが成り立つこと（その結果 k = p かどうかと無関係に、 p⁵ が Δ を割ること）は、さほど珍しくない。分布はまばらだが、かなり多くの事例が見つかる。 p < 200 の範囲では次の通り。ここで m は μ と同じ。右端の数は、 Δ が含む素因子 p の個数（p = 59 のとき、特別なケースがある）。

p=37 : [k,t,m]=[39, 17, 20] : 5
p=37 : [k,t,m]=[3, 35, 2] : 5
p=59 : [k,t,m]=[71, 23, 36] : 6
p=59 : [k,t,m]=[13, 52, 7] : 5
p=67 : [k,t,m]=[73, 30, 37] : 5
p=67 : [k,t,m]=[7, 63, 4] : 5
p=101 : [k,t,m]=[131, 35, 66] : 5
p=101 : [k,t,m]=[31, 85, 16] : 5
p=103 : [k,t,m]=[179, 13, 90] : 5
p=103 : [k,t,m]=[77, 64, 39] : 5
p=131 : [k,t,m]=[237, 12, 119] : 5
p=131 : [k,t,m]=[107, 77, 54] : 5
p=149 : [k,t,m]=[165, 66, 83] : 5
p=149 : [k,t,m]=[17, 140, 9] : 5
p=157 : [k,t,m]=[249, 32, 125] : 5
p=157 : [k,t,m]=[201, 56, 101] : 5
p=157 : [k,t,m]=[93, 110, 47] : 5
p=157 : [k,t,m]=[45, 134, 23] : 5

必ずペアで存在することが見て取れる。特定の p に対して、正の奇数 k = k₁ ≤ p が条件を満たすとき k = k₁ + p − 1 も条件を満たす。言い換えると、正の整数 t = t₁ ≤ (p − 1)/2 が条件を満たすとき t = t₁ + (p − 1)/2 も条件を満たす。

〔追記〕　p = 37, 59, 67, 101, ··· は、非正則素数（irregular primes）のリストと一致する。図らずも、スターリング数とベルヌーイ数の密接な関係を垣間見ることができる。
https://oeis.org/A000928
(Irregular primes: primes p such that at least one of the numerators of the Bernoulli numbers B_2, B_4, ..., B_{p-3} (A000367) is divisible by p.)
素数 p が B_2j の分子を割るとき、 j + 1 が上記の t に当たる。言い換えると、 p が B_ℓ の分子を割るとき、 p² は [2p S 2p − ℓ] を割る（ℓ = 2j は 0 以上 p − 3 以下の偶数）。例えば B₁₂ = −691/2730 だから（2j = 12）、 p = 691, t = 7 は条件を満たす。 t = 1, 2, ···, 6 と t = 8 は決して条件を満たさない（B₀, B₂, ···, B₁₀ と B₁₄ の分子が十分大きな素因子を持たないから）。 t = 7 のケースは p = 691 のみ。 t = 9 のケースは p = 3617 のみ。 t = 10 のケースは p = 43867 のみ。 t = 11 のケースは p = 283, 617 のみ。 t = 12 のケースは p = 131, 593 のみ。等々。（2026年7月16日）

2026-07-20　法 p で見たスターリング数

n = 4 のときのスターリング数 6, 11, 6, 1 をそれぞれ 5 で割ると、余りは 1, 1, 1, 1（【表3】参照）。 n = 5 のときのスターリング数を 5 で割ると、余りは 4, 0, 0, 0, 1。同様に n = 6 のとき 0, 4, 0, 0, 0, 1。 n = 7 のとき 0, 4, 4, 0, 0, 1, 1。

【表3】　スターリング数 [n S k] の例
k =	1	2	3	4	5	6	7
n = 4	6	11	6	1
n = 5	24	50	35	10	1
n = 6	120	274	225	85	15	1
n = 7	720	1764	1624	735	175	21	1

一般に、スターリング数 [n S k] を奇素数 p で割った余りは、一定の（しばしば単純で特徴的な）パターンを持つ。

§29　基本の再帰的関係
　　[n + 1 S k] = n [n S k] + [n S k − 1]　　（✽）
は、以下で重要なツールとなる。つまり n = ℓ の段の、隣り合う（k − 1 番と k 番の）二つのスターリング数 a, b が分かっているとき、 b の真下の（n = ℓ + 1 の段の k 番の）スターリング数 c を、
　　c = ℓb + a
によって求めることができる。例えば【表3】で 85 = 5⋅10 + 35。逆に c とその真上の数 b が分かっているとき、同じ関係から a を求めることも易しい。仮に n = 5 の段の k = 4 のときの値 a が未知で、その右の b = 1 と b の真下の c = 15 が分かっているとすると、 15 = 5⋅1 + a だから a = 10。

ある数 c とその左上の数 a が既知の場合も、同様に a の右隣の数 b を決定できる。こうした計算は、整数演算として有効なだけでなく、任意の法の下でも実行可能。

a, b から c を求める順方向の計算の場合、法演算は実質的に整数演算と変わらない。 c から a ないし b を逆算する場合、 ℓ による割り算が絡むため、法演算では特有の問題が生じることがある。

この再帰的関係について（パスカルの三角形の同様の計算についてもそうだが）、これまで「表の空欄（三角形の外側）の数を参照する必要がある場合、その数を 0 と見なす」という素朴な規約を、当然のことのように受け入れてきた。その規約に関して、ここである程度、明確化しておきたい。

n を 0 以上の整数とする。われわれは n 次の多項式 ƒ_n(x) = x(x + 1)(x + 2)···(x + n − 1) の n − r 次の項の係数（整数である）を W_r(n) と定義する。この多項式に n + 1 次の項は無く、強いて言えば n + 1 次の項の係数 W₋₁(n) は 0。より一般的に、負の整数 r に対して W_r(n) = 0 と考えるのは、合理的だろう。さて、スターリング数（符号なし第一種。以下同じ）の記号
　　[n S n − r]
は、 W_r(n) と同じ意味の別表記に過ぎない。よって、上記のことから W₋₁(n) = [n S n + 1] = 0 となり、より一般的に、 k > n ならば、
　　[n S k] = W_n−k(n) = 0
となる（n − k < 0）。下側インデックス n + 1 のスターリング数が定義されていることは、（✽）を k = n + 1 のケースに適用するために必要。同様に（✽）を k = 0 のケースに適用するためには、
　　[n S −1] = W_n+1(n) = 0
であることが要請される。一般に、少なくとも n が正の場合において、 k ≤ 0 または k > n ならば [n S k] = 0 と定義する。

〔注〕　ただし [n S 0] = 0 は一般的に成り立つことではなく、現に n = 0 なら [n S 0] = 1 とされる（そう約束するべきことは、同じ（✽）からも示唆される）。ここでは n が負の場合については扱わない。これらは一見ペダンチックな技術論のようだが、実は第一種と第二種スターリング数を統一的に眺めるための素晴らしい観点を秘めている。

§30　p を素数とする。 r = p − 1 なら W_r(p) ≡ −1 であり（Wilson の定理）、 r = 0 なら W_r(p) = 1 ≡ 1 (mod p)。番号 r がそのどちらとも異なるなら、 W_r(p) ≡ 0 だ（Lagrange の定理）。換言すると、 [p S 1] = (p − 1)! ≡ −1 と [p S p] = 1 ≡ 1 を除けば [p S k] ≡ 0。

【表4】　法 5 の下でのスターリング数
k =	0	1	2	3	4	5	6
n = 4	0	1	1	1	1	0	0
n = 5	0	−1	0	0	0	1	0

このことから、一つ上の段の各スターリング数 [p − 1 S k] について、次が成り立つ。

定理6.1　p ≥ 2 が素数のとき、任意のスターリング数 [p − 1 S k] は、もし値が 0 でなければ、 p を法として 1 と合同（つまり p の倍数より 1 大きい）。

〔例1〕　n = 4 のときの非ゼロのスターリング数 6, 11, 6, 1 は、どれも p = 5 の倍数より 1 大きい。

証明　p = 2 に対応する唯一の非ゼロのスターリング数 [1 S 1] = 1 は、確かに命題に従う。 p ≥ 3 と仮定する。 k = p − 1 ならもとより [p − 1 S p − 1] = 1 ≡ 1 であり、そのことと [p S p − 1] ≡ 0 から、（✽）は（n = p − 1, k = p − 1 と置くと）、
　　[(p − 1) + 1 S p − 1] ≡ (p − 1) [p − 1 S p − 1] + [p − 1 S (p − 1) − 1]
　　∴　0 ≡ (p − 1)⋅1 + [p − 1 S p − 2]　つまり　0 ≡ (−1) + [p − 1 S p − 2]
を含意する。従って [p − 1 S p − 2] ≡ 1。 p = 3 なら、ひとまずこれでいい。 p ≥ 5 なら、この結果と [p S p − 2] ≡ 0 から、（✽）は（n = p − 1, k = p − 2 と置くと）、
　　[(p − 1) + 1 S p − 2] ≡ (p − 1) [p − 1 S p − 2] + [p − 1 S (p − 2) − 1]
　　∴　0 ≡ (p − 1)⋅1 + [p − 1 S p − 3]　つまり　0 ≡ (−1) + [p − 1 S p − 3]
を含意する。従って [p − 1 S p − 3] ≡ 1。同様に進めて k = 2, 3, ···, p − 1 に対して [p − 1 S k] ≡ 1。最後に、 p = 3 でも p ≥ 5 でも、この合同式は k = 1 に対しても有効。そのことは、（✽）に基づく同様の計算によって示される――自明なる [p − 1 S 0] ≡ 0 と既知の関係 [p S 1] ≡ −1 を利用して。∎

〔例2〕　n = 6 のときの 120, 274, 225, 85, 15, 1 は、どれも p = 7 の倍数より 1 大きい。

〔例3〕　n = 10 のときの 362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1 は、どれも 11 の倍数より 1 大きい。この最後の主張を確かめる一つの方法は、「正の整数 m の奇数桁目の和から、偶数桁目の和を引いたもの」を考えること。周知のように、この差が 11 の倍数なら m は 11 で割り切れる。この差が 11 の倍数より 1 大きいなら、 m も 11 の倍数より 1 大きい。例えば 63273 の場合、奇数桁目の和 3 + 2 + 6 = 11 から偶数桁目の和 7 + 3 = 10 を引いたものは、 11 の倍数 0 より 1 大きい。 9450 の場合、奇数桁目の和 0 + 4 = 4 から偶数桁目の和 5 + 9 = 14 を引いたものは、 11 の倍数 −11 より 1 大きい。

系　p ≥ 2 が素数のとき、法 p の下で:
〘ⅰ〙　[p − 1 S 1] = (p − 2)! ≡ 1
〘ⅱ〙　p ≥ 3 ならば [p − 1 S p − 2] = T_p−2 = (p − 2)(p − 1)/2 ≡ 1
ここで T_j は j 番目の三角数 j(j + 1)/2 を表す。

これらの命題は定理6.1（証明済み）の一部だが、次のようにして、直接的にも証明可能。

証明　〘ⅰ〙 Wilson の定理 (p − 1)! ≡ −1 の両辺を p − 1 ≡ −1 (≢ 0) で割る。〘ⅱ〙 (p − 2)(p − 1)/2 − 1 = (p² − 3p)/2 = p × (p − 3)/2 は p の倍数（仮定により p は奇素数で (p − 3)/2 は整数）。従って (p − 2)(p − 1)/2 − 1 ≡ 0。

§31　p ≥ 3 を任意の素数とする。上側インデックス n = p, p + 1, ···, 2p − 2 の p − 1 行と、下側インデックス k = 1, 2, ···, p − 1 の p − 1 段について、 [n S k] の値を正方形状に並べたもの（正方行列）を A とする。同様に、 A の左に隣接する p − 1 行 p − 1 列の領域（下側インデックス k = p, p + 1, ···, 2p − 2）を B とする。

【表5】　法 5 の下でのスターリング数（A 領域と B 領域）
k =	1	2	3	4	5	6	7	8
n = 5	−1	0	0	0	+1	0	0	0
n = 6	0	−1	0	0	0	+1	0	0
n = 7	0	−1	−1	0	0	+1	+1	0
n = 8	0	−2	−3	−1	0	+2	+3	+1

このとき:

定理6.2　p ≥ 3 が素数なら、 A 領域と B 領域（n = p の段を第1行、 k = 1, p の列をそれぞれ第1列とする p − 1 行の正方行列）の対応する成分（スターリング数）は、法 p の下で、互いに −1 倍の関係にある。 A の左上から右下への「対角線」上にある成分は、いずれも −1 に合同。各領域の「対角線」より上の成分は、いずれも 0 に合同。さらに:
〘ⅰ〙　各領域の第1行と第1列は、対角成分（左上隅の ∓1）を除くと、どの成分も ≡ 0。
〘ⅱ〙　各領域の第2行は、対角成分を除くと、どの成分も ≡ 0。
〘ⅲ〙　各領域の第3行は、第2列の ∓1 と対角成分の ∓1 を除くと、どの成分も ≡ 0。
〘ⅳ〙　p ≥ 5 の場合、各領域の第4行は、第2列・第3列の ∓2, ∓3 と対角成分の ∓1 を除くと、どの成分も ≡ 0。

証明　法 p において、領域の第1行は Wilson–Lagrange の定理によって確定していて、左上隅の ∓1 を除けばどの成分も ≡ 0。第2行以降の各成分は再帰的関係（✽）によって定まる。その際、領域内の値が領域外からの影響を受けるのは、領域の第1列の手前の列（最下段を除く）が 0 以外の成分を含む場合だけ。このケースでは、そのような成分は存在しない。実際、領域 A の手前（k = 0 の列）には明らかに 0 しかない。領域 B の手前（k = p − 1 の列）には、最下段を除けば p の倍数（法 p の下で 0）しかない――それらの数は、逆三角形状の「p の倍数領域」に属するから。

A の対角成分がいずれも −1 であることは、一般化された Wilson の定理による。 B の対角成分がいずれも 1 であることは自明。任意の n ≥ p + 1 に対して [n S 1] = (n − 1)! は、明らかに p の倍数。ゆえに A の第1列は、左上隅の要素を除きどれも ≡ 0。〘ⅱ〙以降の主張については、第1行の各成分の剰余（既知）を基に、（✽）による直接計算で確かめられる。∎

〔注〕　p ≥ 7 の場合、原理的には第5行以降についても、同様の計算によって、各成分が属する剰余類を決定できる。

§32　正方形状の上記 A, B 領域では、上部の行から下部の行へと（対角成分より下にある）成分の値（mod p）が徐々に複雑になっていく。しかしこれらの領域の直下、すなわち n = p − 1 の段では、再びシンプルなパターン（非ゼロ成分は ∓1 のみ）が現れる。さらに、 n = p の段を第1行として、再び A, B と似た三つの正方行列（それぞれ p − 1 行 p − 1 列）が現れる。

【表6】　法 5 の下でのスターリング数（続き）
k =	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
n = 9	−1	−1	−1	−1	1	1	1	1
n = 10	1	0	0	0	−2	0	0	0	1	0	0	0
n = 11	0	1	0	0	0	−2	0	0	0	1	0	0
n = 12	0	1	1	0	0	−2	−2	0	0	1	1	0
n = 13	0	2	3	1	0	−4	−6	−2	0	2	3	1

k = 0, 1 に対する値は全て 0 に合同（【表6】では表記省略）。n ≥ 2p + 1 のとき、 k = 2 に対する値も全て ≡ 0。

n = 2p の段のスターリング数（p ≥ 3）について。第一に、 k = 2p に対する値 W₀ が = 1 ≡ 1 (mod p) であることは自明。第二に、 k = p + 1 に対する値 W_p−1 は ≡ −2。第三に、 k = 2 に対する値 W_2p−2 は ≡ 1。それら三つ以外の値は、どれも ≡ 0 である（補題6）。 A 領域の対角成分 −1 を延長すると、 n = 2p の段で（左上から右下へと斜めに並ぶ負の剰余の）値が −1 から −2 に変わるが（mod p）、この挙動は、拡張された Wilson の定理による。 n = 2p − 1 の段のスターリング数のうち k = p に対するものは ≡ −1 なので、再帰的関係（✽）によって、
　　[2p S p] ≡ [2p − 1 S p] + (2p − 1) [2p − 1 S p − 1]
　　∴　0 ≡ (−1) + (−1) [2p − 1 S p − 1]
　　∴　[2p − 1 S p − 1] ≡ −1
でなければならない。この結果を再利用して同様に進めることにより、 k = 2, 3, ···, p のいずれに対しても [2p − 1 S k] ≡ −1 であることが確立する（k = 2 に関しては、 [2p S 2] ≡ 1 と [2p − 1 S 1] ≡ 0 からも同じ結論に）。同様の「再帰的関係の逆算」により、 k = p + 1, p + 2, ···, 2p − 1 のいずれに対しても [2p − 1 S k] ≡ 1 が成り立つ（k = p + 1 に関しては、 [2p S p + 1] ≡ −2 と [2p − 1 S p] ≡ −1 からも同じ結論に）。

k がそれら以外の値（k ≤ 1 または k ≥ 2p）なら、 [2p − 1 S k] ≡ 0 であることは自明。そのうち k = 1 に対する値が ≡ 0 であることは、再帰的関係からも明らかだが、具体的には「n ≥ p + 1 なら [n S 1] = (p − 1)! は p の倍数」という事実―― n がその範囲なら (n − 1)! は因子 p を含むから、当然そうなる――に基づく。要約すると:

定理6.3　p ≥ 3 が素数のとき、 n = 2p − 1 の段には、 k = 2 から p まで −1 が、 k = p + 1 から 2p − 1 まで 1 が、それぞれ p − 1 個並ぶ（これらの ∓1 は、もちろん法 p の下での剰余の意味）。次の n = 2p の段を第1行、 k = 2 の列を第1列として、定理6.2と同様に、三つの（p − 1 行の）正方行列 A′, B′, C′ を（法 p の下で）考えると、 A′ ≡ C′ ≡ B かつ B′ ≡ −2B。

2026-07-22　法 p で見たスターリング数（続き）

スターリング数を奇素数 p で割った余りは基本的な意味を持ち、 p² で割った余りは、面白い結果とつながることがある（Wolstenholme の定理はその代表例）。法 p での剰余と法 p² での剰余は別次元の問題で、単純なアプローチでは――前者については、かなり見通しが利くのだが――、後者については部分的な結論しか得られない。

具体的に n = p, 2p の場合、半数のスターリング数については法 p² の下での剰余を比較的簡単に決定できる。同じことは n = p + 1, 2p + 1 の場合についてもいえる。半数（下側インデックスが偶数か奇数かのどちらか）についてしか扱えないところがもどかしく、「残りの半分の秘密も解きたい」という好奇心をかき立てるけど、ここでは、とりあえず半分だけでも結論を出しておく。

§33　p ≥ 3 を奇素数とする。
　　[p S 1] = (p − 1)! = ℓp − 1　　㋐
　　[p S p] = 1　　㋑
の二つのケースを除くと（ℓ は何らかの整数）、任意の整数 k に対して [p S k] は p の倍数（Lagrange の定理）。のみならず、
　　[p S p − 1] = p(p − 1)/2　　㋒
を唯一の例外として、 β − 1 が偶数なら [p S β − 1] は p² の倍数（命題2）。

上記のスターリング数を W_p−(β−1)(p) と書くと、例外ケース β − 1 = p − 1 は W₁(p) に当たる。 β − 1 = 0 の場合は W_p(p) = 0 に当たり、例外的ではない（自明な p² の倍数）。

従って下側インデックス β が奇数の場合、㋐㋑㋒が関係しないなら（すなわち奇数 β が 1, p 以外なら）、
　　[p + 1 S β] = p [p S β] + [p S β − 1] ≡ 0 (mod p²)
が成り立つ（右辺の二つの項は、どちらも p² の倍数だから）。㋐㋑㋒の一つ以上が関係する場合はそうならず、次の 2 種類の特例が生じる。
　　[p + 1 S 1] = p [p S 1]^㋐ + [p S 0] = p⋅(ℓp − 1) + 0 ≡ −p (mod p²)
　　[p + 1 S p] = p [p S p]^㋑ + [p S p − 1]^㋒ = p⋅1 + p(p − 1)/2 = p(p + 1)/2 ≡ p(p + 1)/2 (mod p²)

〔例〕　n = 5 の段のスターリング数 24, 50, 35, 10, 1 は両端の二つを除き 5 の倍数、二つ目の 50 は 5² の倍数。ゆえに [6 S 3] = 5⋅35 + 50 = 225 は 5² の倍数（5² の倍数の和だから）。第一の特例 5⋅4! ≡ −5 (mod 5²) は、 Wilson の定理 4! ≡ −1 (mod 5) を（法を含めて）5倍したもの。第二の特例で生じる三角数は p² より小さいので、そのまま法 p² の下での剰余を代表する。

次に、上側インデックス 2p の場合を考える。以下で ℓ, ℓ′ などは何らかの整数を表す。
　　[2p S 2] ≡ 1 (mod p) = ℓp + 1　　㋕
　　[2p S p + 1] ≡ −2 (mod p) = ℓ′p − 2　　㋖
　　[2p S 2p] = 1　　㋗
の三つのケースを除くと、任意の整数 k に対して [2p S k] は p の倍数（補題6）。のみならず、
　　[2p S 1] ≡ p (mod p²) = ℓ″p² + p　　㋘
　　[2p S 2p − 1] = 2p(2p − 1)/2 = 2p² − p　　㋙
の二つのケースを除くと（§24）、 α − 1 が奇数なら [2p S α − 1] は p² の倍数（定理4）。

従って下側インデックス α が偶数の場合、㋕㋖㋗㋘㋙が関係しないなら（すなわち偶数 α が 2, p + 1, 2p 以外なら）、
　　[2p + 1 S α] = p [2p S α] + [2p S α − 1] ≡ 0 (mod p²)
が成り立つ（右辺の二つの項は、どちらも p² の倍数だから）。㋕㋖㋗㋘㋙の一つ以上が関係する場合は例外で、次の 3 種類の特例が生じる。
　　[2p + 1 S 2] = 2p [2p S 2]^㋕ + [2p S 1]^㋘ = 2p(ℓp + 1) + (ℓ″p² + p) ≡ 3p (mod p²)
　　[2p + 1 S p + 1] = 2p [2p S p + 1]^㋖ + [2p S p] = 2p(ℓ′p − 2) + ℓ″′p² ≡ −4p (mod p²)
　　[2p + 1 S 2p] = 2p [2p S 2p]^㋗ + [2p S 2p − 1]^㋙ = 2p⋅1 + (2p² − p) ≡ p (mod p²)
（ここで [2p S p] は、値が p² の倍数となる通常ケースに該当し、例外的ではない。）

数値例　p = 5 とする。 n = 2p = 10 の段のスターリング数
　　362880, 1026576, 1172700, 723680, 269325, 63273, 9450, 870, 45, 1
のうち、2番・6番・10番（1026576, 63273, 1）は法 5 の下でそれぞれ 1, −2, 1 と合同、それら以外は 5 の倍数。特に、3番・5番・7番（1172700, 269325, 9450）は 5² の倍数。従って、再帰的公式の形から、「5 の倍数以外が絡む特例」を別にすれば、 n = 11 の段の偶数番のスターリング数は 5² の倍数になる。例えば [11 S 8] = 870⋅10 + 9450 = 18150 は 5² = 25 の倍数。 p = 11 の観点から見ると、これら偶数番の整数たちは、原則として 11² の倍数でもある。 18150 は例外ではなく、結局 5²⋅11² = 55² = 3025 の倍数でなければならない（現にその 6 倍）。この数については、二項係数の積
　　(11 C 2)(11 C 4) = 55⋅330　　（❖）
として、直接的に求めることも可能（次節参照）。 55⋅11 = 605 と見ると、その 30 倍に等しい。

§34　r = 1, 2, 3 について、 W_r = W_r(n) = [n S n − r] を直接的に計算するための、便利な式が存在する（二項係数を使ったシンプルで、実用的な表現）。問題4の途中計算から:
　　[n S n − 1] = n(n − 1)/2 = (n C 2) = T_n−1　　‥‥①
　　[n S n − 2] = n(n − 1)(n − 2)(3n − 1)/24 = (n C 3) (3n − 1)/4　　‥‥②
　　[n S n − 3] = n²(n − 1)²(n − 2)(n − 3)/48 = (n C 2) (n C 4)　　‥‥③
　　 = (T_n−1)² (n − 2)(n − 3)/12　　‥‥③′

③が①の平方のような形になっているところが、べき和の公式（3乗和 vs. 1乗和）をほうふつとさせる！

③′ は必ずしも③より便利ではないが、 y = (n − 2)(n − 3)/12 が整数になる場合などに、役立つかもしれない。 n = 6 のとき y = 1 なので、③′ から [6 S 3] = 15² = 225 を得る。この場合 (6 C 2) = (6 C 4) = 15 なので、③からも直ちに = 15² を得ることができ、どちらでもほぼ同じ手間。一方、 n = 11 のとき y = 8⋅9/12 = 6 なので、 [11 S 8] = 55²⋅6 = 3025⋅6 = 18150 を得る。11次の二項係数（55 と 330）が不要なので、③の計算法（❖）より便利かも。 n = 14 のとき y = 12⋅11/12 = 11 なので、 91²⋅11 = 91 × 11 × 91 = 1001 × 91 = 91091 を得る。14次の二項係数 (14 C 2) = 91, (14 C 4) = 1001 がパッと出るならその二つを掛けた方が早いが、さもなければ③′ の方が便利だろう。

②の計算では、大抵 a = (n C 3) と b = 3n − 1 の一方が 4 の倍数になるので、先にそれを 4 で割ってから掛け算するのが省力的。

〔例〕　[9 S 7] について a = (9 C 3) = 84 と b = 26 を掛けて 4 で割る代わりに、 a/4 = 21 と b = 26 を掛けた方が楽。 26 × 21 = 520 + 26 = 546。 [11 S 9] について a = (11 C 3) = 165 と b = 32 を掛けて 4 で割る代わりに、 a = 165 と b/4 = 8 を掛けた方が楽。 165 × 8 = 330 × 4 = 1320。

a, b がどちらも 4 の倍数でない場合には、 a/2 × b/2 を計算すればいい。

〔例〕　[13 S 11] について a = (13 C 3) = 286 と b = 38 を掛けて 4 で割る代わりに、 a/2 = 143 と b = 19 を掛けた方が楽。 143 × 19 = 2860 − 143 = 2717。

実用性は限られるが r ≥ 4 についても、同様の公式を求めることができる。

以下では r = 4 の場合について記す。再帰公式と①②③から:
　　4W₄ = (n C 5) + W₁⋅(n − 1 C 4) + W₂⋅(n − 2 C 3) + W₃⋅(n − 3 C 2)
　　 = n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)/5! + n(n − 1)/2 × (n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)/4!
　　 + n(n − 1)(n − 2)(3n − 1)/(3!⋅4) × (n − 2)(n − 3)(n − 4)/3! + n²(n − 1)²(n − 2)(n − 3)/(2!⋅4!) × (n − 3)(n − 4)/2!

記述の簡潔化のため、両辺を n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4) で割ると:
　　4W₄/[n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)] = 1/5! + (n − 1)/(4!⋅2) + (3n − 1)(n − 2)/(4!⋅3⋅2) + n(n − 1)(n − 3)/(4!⋅4)
　　 = 4⋅3/(5!⋅4⋅3) + 5⋅3⋅2(n − 1)/(5!⋅2⋅3⋅2) + 5⋅2(3n² − 7n + 2)/(5!⋅3⋅2⋅2) + 5⋅3(n³ − 4n² + 3n)/(5!⋅4⋅3)
　　 = (15n³ − 30n² + 5n + 2)/(5!⋅12)

この最後の分子の3次式は、有理係数の範囲で既約（直接計算によると n = ±1, ±2 は根ではない。 n の値の分子に素因子 3 または 5 があったら、明らかに分子は 0 にならない）。結局:
　　W₄ = [n(n − 1)(n − 2)(n − 3)(n − 4)]/(5!⋅12) × (15n³ − 30n² + 5n + 2)/4
つまり:
　　[n S n − 4] = (n C 5) (15n³ − 30n² + 5n + 2)/48　　‥‥④

①②③と比べると、分子の3次式がゴチャゴチャしてあまりシンプルではないが、このような「高次の余因子」がスターリング数の「面白さ」の源、といえるかもしれない。

せっかくなので、検証を兼ねて、具体的な数値を入れてみる。

〔例1〕　n = 10 のとき、④の分子 = 15000 − 3000 + 50 + 2 = 12052 = 3013⋅4 なので:
　　[10 S 6] = 252 × 3013/12 = 21 × 3013 = 60260 + 3013 = 63273
検算として、この数は法 5 の下で ≡ −2 でなければならず（補題6）、法 11 の下で ≡ 1 でなければならない（定理6.1）。前者は明白、後者も真（3 + 2 + 6 = 11, 7 + 3 = 10）。さらに、この数は 7 の倍数でなければならない（定理2）。その点についても（63000 が 7 の倍数であることに留意すると）容易に確認可能。よって、上記の結果は mod 5⋅7⋅11 で正しく、「計算が間違っているのに、この検算を通ってしまう確率」は低い。事実 63273 は正しい値。

〔例2〕　n = 9 のとき、④の分子 = 15⋅9⋅81 − 30⋅81 + 45 + 2 = (135 − 30)⋅81 + 45 + 2 = 8505 + 45 + 2 = 8552 = 1069⋅8 なので:
　　[9 S 5] = 126 × 1069/6 = 21 × 1069 = 21380 + 1069 = 22449
検算として、この数は法 5 の下で ≡ −1 でなければならず（定理3または定理6.3）、かつ 7 の倍数でなければならない（定理2）。前者は明白、後者も容易に確認可能。よって、この結果は、少なくとも mod 5⋅7 で正しい（実際、整数値としても正しい）。

例1の 63273 = 3⋅7⋅23⋅131 のうち、素因子 7 は無ければならず、素因子 3 の存在も容易に説明可能だろう。 23 と 131 は疑似ランダム的。④の3次式が、これら「大きな素因子」の発生源となっている。例2の 22449 = 3⋅7⋅1069 の素因子 1069 についても同様。

2026-07-24　スターリング数を二項係数で表すこと

三角数 [n S n − 1] = (n C 2) は基本的。もちろん (n C n − 2) とも一致。

[n S n − 2] = (n C 3) (3n − 1)/4 と [n S n − 3] = (n C 2) (n C 4) も有用で、後者はきれいな式だ。

前回、調子に乗って [n S n − 4] について、同様の「二項係数表現」を求めた。結果は3次の因子を含み、あまり実用性はなさそうだけど、好奇心は満たされた！　例えば m = 1, 2, 3 のときの式が公式集に載ってるとき、 m = 4 だとどうなるのか、知りたくなる。「参考までに」とか「研究」とかいえば一見ポジティブだが、その実態は「興味本位」というか「遊び」というか、ひどくなると「先延ばし」だったりして…（急ぎの仕事の締め切りが迫っているときに限って、無関係の別のことをやりたくなる！）

今回、さらに調子に乗って [n S n − 5] にチャレンジ。ますますゴチャゴチャするかと思いきや、結論は予想外にきれい。何行もあるような長い分数の計算が、簡潔な形に集約されるところにカタルシスがある。

古人いわく、「面白きこともなき世を面白く、住みなすものは心なりけり」。遊びと思えば、計算地獄もまた涼し？

§35　再帰公式と前節①②③④から:
　　5W₅ = (n C 6) + W₁⋅(n − 1 C 5) + W₂⋅(n − 2 C 4) + W₃⋅(n − 3 C 3) + W₄⋅(n − 4 C 2)
　　 = n(n − 1)···(n − 5)/6! + n(n − 1)/2 × (n − 1)···(n − 5)/5!
　　 + n(n − 1)(n − 2)(3n − 1)/(3!⋅4) × (n − 2)···(n − 5)/4! + n²(n − 1)²(n − 2)(n − 3)/(2!⋅4!) × (n − 3)(n − 4)(n − 5)/3!
　　 + n(n − 1)···(n − 4)(15n³ − 30n² + 5n + 2)/(5!⋅48) × (n − 4)(n − 5)/2!
従って:
　　5W₅/[n(n − 1)···(n − 5)] = 1/6! + (n − 1)/(2⋅5!) + (n − 2)(3n − 1)/(4⋅6⋅4!) + n(n − 1)(n − 3)/(2⋅6⋅4!) + (15n³ − 30n² + 5n + 2)(n − 4)/(5!⋅6⋅16)
　　 = 16/(6!⋅16) + 48(n − 1)/(2⋅6!⋅8) + 20(n − 2)(3n − 1)/(4⋅6!⋅4) + 40n(n − 1)(n − 3)/(2⋅6!⋅8) + (15n³ − 30n² + 5n + 2)(n − 4)/(6!⋅16)
　　 = (15n⁴ − 50n³ + 25n² + 10n)/(6!⋅16) = 5n(3n³ − 10n² + 5n + 2)/(16 × 6!)　　【※1】参照
　　∴　W₅/[n(n − 1)···(n − 5)] = n(3n³ − 10n² + 5n + 2)/(16 × 6!)

分子の3次の因子は n − 1 で割り切れる（n = 1 を代入すると 3 − 10 + 5 + 2 = 0 だから）。【※2】参照。商 3n² − 7n − 2 は、有理係数の範囲で既約。結局:
　　W₅ = [n(n − 1)⋅(3n² − 7n − 2) × n(n − 1)···(n − 5)]/(2!⋅8 × 6!)
すなわち:
　　[n S n − 5] = (n C 2)(n C 6) (3n² − 7n − 2)/8　　‥‥⑤

こぢんまりとした、すてきな式だ！　右辺が n についての10次式であることを思うと、ずいぶんきれいにまとまった（④より、むしろかえってシンプルかも）。第一印象、少し疑問も感じる。⑤の左辺はスターリング数なのでもちろん整数値だが、右辺には分母 8 があり、二項係数は例えば
　　(14 C 2) = 91, (14 C 6) = 3003
のように奇数にもなり得る――右辺の積は、本当に必ず整数になるのだろうか？

【※1】　各分子の展開とそれらの和

                                16
                          48n - 48
                 60n^2 - 140n + 40
        40n^3 - 160n^2 + 120n
15n^4 - 30n^3 +   5n^2 +   2n
      - 60n^3 + 120n^2 -  20n -  8
==================================
15n^4 - 50n^3 +  25n^2 +  10n

【※2】　3次式の分解

           3n^2 -  7n   - 2
         =======================
  n - 1 )  3n^3 - 10n^2 + 5n + 2
           3n^3 -  3n^2
           ============
                  -7n^2 + 5n
                  -7n^2 + 7n
                  ==========
                         -2n + 2
                         -2n + 2
                         =======
                               0

§36　⑤の右辺が整数値を持つこと。 A = (n C 2)(n C 6) の分母 2!⋅6! は素因子 2 をちょうど 5 個含む（2⋅2⋅4⋅6 = 2⁵⋅3 だから）。従って:

ケース1　法 8 の下で n ≡ 6, 7 なら、 A の分子は素因子 2 を 5 個しか含まず（6⋅6⋅4⋅2 = 2⁵⋅3² だから）、 A は奇数。しかし、そのとき B は（従って AB は）整数。なぜなら B = (3n² − 7n − 2)/8 の分子は、 n ≡ −1 なら 3 + 7 − 2 ≡ 0 に合同、 n ≡ −2 なら 12 + 14 − 2 ≡ 0 に合同。

ケース2　n ≡ 10, 11 (mod 16) なら、 A の分子は素因子 2 を 6 個しか含まない（10⋅10⋅8⋅6 = 2⁶⋅3⋅5² なので）。この場合、整数 A は素因子 2 を 1 個しか含まないが、やはり AB は整数。実際、 n ≡ 2, 3 (mod 8) なら B の分子は 4 の倍数で、既約分数としての B の分母は、素因子 2 を 1 個しか含まない。

デフォルト　上記のどちらのケースでもないなら、 A の分子は素因子 2 を 7 個以上含むから、整数 A は素因子 2 を 2 個以上含む。よって AB は整数。実際 n が偶数でも奇数でも B の分子は偶数であり、既約分数としての B の分母は、素因子 2 を 2 個以下しか含まない。

§37　数値例。

[n S n − 5] = (n C 2)(n C 6) (3n² − 7n − 2)/8　　‥‥⑤再掲

[7 S 2] = (7 C 2)(7 C 6) (3⋅49 − 49 − 2)/8 = 21⋅7⋅96/8 = (7⋅3)⋅7⋅12 = (7⋅3)²⋅4 = 441⋅4 = 1764

[8 S 3] = (8 C 2)(8 C 6) (3⋅64 − 56 − 2)/8 = 28⋅28⋅134/8 = 7²⋅16⋅134/8 = (50 − 1)⋅268 = 13400 − 268 = 13132

前者も後者も 49 の倍数（§33）。前者は 5 の倍数より 1 小さい（定理6.2）。後者は 4 の倍数（命題3）。

[9 S 4] = (9 C 2)(9 C 6) (3⋅81 − 63 − 2)/8 = 36⋅84⋅178/8 = 36⋅84⋅89/4 = (89⋅9)⋅84 = 801⋅84 = 67284

[10 S 5] = (10 C 2)(10 C 6) (3⋅100 − 70 − 2)/8 = 45⋅210⋅228/8 = 45⋅210⋅57/2 = 45⋅105⋅57 = 269325

前者も後者も 7 の倍数（定理2）。前者は 9 の倍数（命題3）。 5 の倍数より 1 小さい（定理6.3）。後者は 25 の倍数で、 125 の倍数より 50 小さい（定理4）。 11 の倍数より 1 大きい（定理6.1）。

付録C　⑤は n についての10次式で、 n = 0, 1, ···, 5 の六つは明らかに根（それらの n に対して [n S n − 5] は = 0 なので）。因子の二項係数の意味から n = 0 と n = 1 は重根。結局、重複度を含めて、八つの根は素性がはっきりしている。残りの二つの根は何か。もちろん因子 3n² − 7n − 2 の根であり、
　　n = (7 ± √73)/6
ではあるが、この根は正体不明というか、ミステリアス（しかるべき整数の根を持つ曲線は、連続曲線の都合上、ときどき自明な零点と関係ない無理数の点でも横軸と交わることがある――ここに何か深い問題がありそう）。 √73 は 8 と 9 の間の数なので、この根は絶対値 3 未満の小さな無理数。この無理数の本質は謎だけど、根の絶対値が小さいことについては、うなずける。

この10次式は、整数 n の絶対値が増えると急激に増加する（n が正の場合、スターリング数の性質から当然そうなる）。従って、もしも大きな n と n + 1 の間で曲線が突然横軸に触れるとしたら、ものすごい急降下に続けて直ちに急上昇が起きる必要があり、滑らかな「普通」の曲線では、直観的にそんなことは起こり得ないはず。もしも曲線がそんな異様な形になったとしたら、導関数が「普通」でないので、もともとの10次式は「不自然」な係数を持つはず。要するに、不自然に絶対値の大きな変な係数でもない限り、根の絶対値は小さいと予期される――根の正体は謎だとしても。

そういう観点からすると、④式
　　[n S n − 4] = (n C 5) (15n³ − 30n² + 5n + 2)/48
の3次の因子の零点も、気になるところ。何の意味があるのかはっきりしないけど、
　　15n³ − 30n² + 5n + 2 = 0
を解いてみる。最高次の項の係数を 1 にするため、両辺を 15 で割って:
　　n³ − 2n² + (1/3)n + 2/15 = 0　　（✽）
各係数を（首位の係数を 1 に保ったまま）整数化するため、 x = n/15 と置いて両辺を 15³ 倍すると:
　　x³ − 30x² + 75x + 450 = 0
2次項を除去するため x = y + 10 と置くと:
　　y³ − 225y − 800 = 0

補助方程式 t² − 800t + (225/3)³ = 0 つまり t² − 32⋅25t + 75³ = 0 を解くと、
　　t = 32⋅25 ± √(16²⋅25² − 75³) = 400 ± 25√(16² − 75⋅3²) = 400 ± 25√−419
なので、求める解は:
　　y = ³√(400 + 25√−419) + ³√(400 − 25√−419)
　　∴　x = 10 + ³√(400 + 25√−419) + ³√(400 − 25√−419)
　　∴　n = [10 + ³√(400 + 25√−419) + ³√(400 − 25√−419)]/15

主値は 1.76895 55398…、非主値は −0.18233 58401… と 0.41338 03002…。やはり小さい絶対値になる。（✽）の3解の和は 2 で積は −2/15 = −0.1333… なので、まぁ、そんなもんだろう。これらと比べると、⑤の非自明な根は
　　(7 ± √73)/6 = 2.59066 72908…, −0.25733 39575…
で、絶対値が少し大きめ――次数が上がると、非自明な根の絶対値も少しずつ増えるのかもしれない。次数が上がれば「自明な整数の根」が増えるので、「曲線の都合上、整数座標でないけど横軸と交わる場所」の範囲が広がるのは、不思議ではないだろう。